Math Problem No.1 (자작)

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Math Problem No.1 (자작)

Silver Hat 2022. 3. 8. 21:28

앞으로 이와 같은 내용은 모두 이 티스토리 블로그에 쓸 예정이다.

네이버랑 글이 겹치는 경우는 ps 카테고리밖에 없을 것이니 여긴 아니다.

(티스토리에서의 수식 작성은 처음이라 수식 상태가 개발이다; 수식 공부를 해야 한다)

(이 글은 PC에서 접속해야 가독성이 높다)

우선 처음 나온 $f(x)$ 부터 관찰을 해보자.

$n$ 이 증가함에 따라 그 구간의 직선의 기울기가 감소한다는 사실을 알 수 있다.

또한 $x=n-1$ 을 대입하여 $n-1$ 이 왼쪽 끝이라는 것과,

$x=n$ 을 대입하여 $108-(a-1)n$ 이 오른쪽 끝이라는 것을 알 수 있다.

지금까지의 내용을 그림으로 표현하면 대략 이렇다.

왼쪽 경계는 점점 높아지고, 오른쪽 경계는 점점 낮아지며 직선이 점점 눕는 형태다.

단, $http://latex.codecogs.com/svg.latex?n\leq \frac{109}{a}$ 라는 조건에 의해 기울기가 음수가 되기 전까지만 그린다.

이제 더 이상 할 수 있는 게 없으므로 다음으로 넘어간다.

=> 어떤 구간에서

$48^n = (49-1)^n$ 이 성립한다.

$http://latex.codecogs.com/svg.latex?(49-1)(49-1)(49-1)\cdots$ 에서 49와 -1에 대한 식으로 전개하면 $http://latex.codecogs.com/svg.latex?\sum_{k=0}^{n} {49}^{n-k}(-1)^{k}$ 이다.

이 때 49를 포함한 항은 모두 7의 배수이기 때문에

49를 포함한 모든 항을 $7*P$ ( $P$ 는 자연수) 라고 나타내면 위 시그마 식은 $7*P + (-1)^n$ 이다.

여기서 $n$ 이 홀수이면 $7*P -1$ 이므로 7로 나눈 나머지가 6, 짝수이면 $7*P +1$ 이므로 나머지가 1이다.

따라서 $r$ 로 가능한 값은 1과 6이다.

=> $f(k)=51,56$ 을 만족시키는 $k$ 가 오직 한 개이다.

정리를 해보자.

$f(x)$ 는 구간 단위 길이가 1이고, 오른쪽으로 갈 때마다 직선이 눕는 형태이다.

그리고 $y=51$ 과 $y=56$ 를 그렸을 때 총 한 개의 실근을 가져야 한다.

i) $y=51$ 과만 만나는 경우

$http://latex.codecogs.com/svg.latex?f(b-1)=b-1\leq 51\cdots b\leq 52$

$http://latex.codecogs.com/svg.latex?51< f(b) = 109-ab+b-1 = 108-(a-1)b\leq 56$

$http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{52}{a-1}\leq b<\frac{57}{a-1}$

두 식을 연립하자.

우선 $a=1$ 이면 모순이다.

따라서 $http://latex.codecogs.com/svg.latex?a\geq 2$ 인데, $a=2$ 일 때 $b=52$ 이면 성립하므로 가장 알맞은 순서쌍이다.

ii) $y=56$ 과만 만나는 경우

$http://latex.codecogs.com/svg.latex?51<f(b-1)=b-1\leq 56\cdots \cdots 52<b\leq 57$

$http://latex.codecogs.com/svg.latex?f(b)=109-ab+b-1 > 56 \cdots \cdots b<\frac{52}{a-1}$

두 식을 연립하자.

$a=1$ 이면 자명히 모순이다.

따라서 $http://latex.codecogs.com/svg.latex?a\geq 2$ 인데, 값을 넣어보면 $http://latex.codecogs.com/svg.latex?a\geq 2$ 여도 모순이라는 것을 알 수 있다.

따라서 ii) 에서 가능한 순서쌍은 없다.

i), ii) 를 종합하였을 때 문제에서 말하는 $a,b$ 는 $(2,52)$ 이다.

따라서 $http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{2}{52}=\frac{1}{26}=\frac{p}{q}$ 에서 $p=1,q=26$ 이고, 문제에서 원하는 값은 $http://latex.codecogs.com/svg.latex?(1-26)^{2}=625$ 이다.

625

위와 같이 비슷한 형태의 그래프가 점점 뒷구간으로 가면서 작아지는 형태의 함수..

에서 문제를 내는 경우가 꽤 많이 보인다.

이 문제도 비슷하게 만들었는데, 너무 많이 꼬았나라는 생각이 드는 한편 너무 쉬운 게 아닌가라는 생각도 든다.

여담으로 친구에게 검수를 시켰더니 아무 이상이 없다고 했다.

그런데 다음날 다시 풀어보니 답이 여러 개라는 오류가 발견되어 $a$ 에 대한 조건을 일부 수정하고 따졌더니